Comment relier de manière naturelle PHI à PI

Il existe beaucoup de formules qui relient le nombre PI au nombre d’or PHI. Et c’est assez logique car il est toujours possible de relier deux nombres par une formule mathématique plus ou moins complexe.

Ce qui va suivre n’est pas tant une nouvelle formule mathématique reliant ces deux nombres mais plutôt une récréation mathématique visant à montrer que PHI et PI sont finalement reliés de manière assez naturelle et qu’il est facile de le montrer sans faire de gros calculs. L’idée n’est pas de faire une démonstration mathématique rigoureuse, mais de montrer de manière simple comment en ayant PHI on peut finalement se relier au cercle. Et qui dit cercle, dit PI.

C’est en regardant un documentaire sur les pyramides que j’ai eu envie de vérifier les affirmations faites dans cette vidéo. En effet, il était dit que dans les dimensions de la pyramide on trouver assez facilement le nombre PHI et le nombre PI. Ce qui permettait de conclure que les bâtisseurs de pyramides connaissaient les deux. Vrai ou pas, n’est pas le sujet de ce qui suis. Toutefois, on peut facilement constater qu’en jouant avec le nombre d’or on tombe assez facilement sur PI, et qu’en ayant choisi des proportions respectant le nombre d’or dans certaines dimensions des pyramides, trouver un multiple de PI dans le démi-périmètre de la base n’est qu’une conséquence du premier choix.

D’ailleurs, si en tant que bâtisseur de pyramide j’avais voulu inclure de manière cachée que je connaissais PI et PHI j’aurais choisi les dimensions qui minimisent l’erreur entre les deux. C’est à dire soit on fixe PHI de manière précise et on a quelque chose d’approchant un multiple de PI sur son périmètre, soit on fixe PI de manière précise et on aura un rapport approchant de PHI. Il est impossible d’avoir les deux précis compte tenue de la forme choisie. Si pour la forme donnée on avait pris les dimensions qui permettait de minimiser l’erreur sur les deux, là on aurait pu conclure sans hésiter qu’ils connaissaient bien les deux.

Fermons cette parenthèse et attaquons la démonstration liant ces deux nombres particuliers.

On considérera que le nombre PHI est connu ainsi que ses propriétés suivantes :

PHI + 1 = PHI^2
PHI - 1 = 1/PHI

Dit en toute lettre, ajouter 1 à PHI équivaut à l’élever au carré. Soustraire 1 à PHI donne son inverse.

C’est cette particularité qui lui donne son côté précieux que nous allons exploiter pour relier PHI à PI.

Nous savons que ce rapport PHI était beaucoup utilisé dans les constructions. Et quoi de mieux lorsqu’on devait tailler une pierre ou autre d’avoir un gabarit ou une règle aux bonnes dimensions. De manière très simple on peut imaginer une règle en deux parties, l’une valant l’unité qu’on se donne, l’autre valant cette unité fois PHI. Pour simplifier nous prendrons 1 comme unité. on obtient une gabarit articulé avec une branche mesurant l’unité choisie et l’autre valant l’unité fois PHI. Comme sur l’image ci-dessous.

Avec ce gabarit à 2 branches nous pouvons tailler des pierres respectant les proportions du nombre d’or. Et puisque nous avons une branche mesurant 1 et une branche mesurant PHI nous pouvons avoir 4 mesures. PHI par une branche, l’unité par l’autre branche et PHI au carré par l’utilisation des deux branches et enfin l’inverse de PHI en pliant la branche unité sur la branche PHI. Bien pratique pour s’éviter des calculs compliqués. 

Si on en reste là, il sera difficile de faire le lien avec PI. Pour le faire apparaitre il faut repenser notre gabarit articulé. au lieu d’avoir PHI et 1, on va construire un gabarit à 3 morceaux dont le plus petit élément vaut l’inverse de PHI et les deux autres valent 1 comme indiqué dans l’image ci-dessous.

Une fois qu’on a fait ça, on a un gabarit en 3 morceaux qui nous donne les mêmes mesures qu’avant. Enfin presque.... Puisque maintenant on peut former un triangle et ainsi disposer de 2 mesures supplémentaires. Les angles !

Je vous passe les calculs qui sont faciles puisqu’on connait la longueur des 3 côtés, on a un angle de 36° et deux angles de 72°.

C’est là que la magie opère. En ayant joué avec seulement le nombre d’or on obtient l’angle 36° qui n’est pas anodin puisqu’il vaut 2PI/10.

Ce qui veut dire que le gabarit mis en triangle peut séparer un cercle en 10 de manière parfaite. Ce qui n’a rien d’anodin .

On voit donc de manière simple et sans poser le moindre calcul pourquoi PHI et PI sont naturellement reliés et que lorsqu'on joue avec l'un on a l'autre....